Читать онлайн книгу "Геометрия. 7-9 класс"
Геометрия. 7-9 класс
Александра Ведова
Вся планиметрия, которую проходят в школе с 7 по 9 класс. Исключена тема "Векторы", т.к. она больше применима в физике и в ОГЭ заданий на этот раздел нет. Материал изложен блоками, и автор постаралась максимально возможно восстановить логические цепочки в темах, разбросанных по всему школьному учебнику и распределенных на три года. Эта теоретическая часть планиметрии, которая полезна будет всем, кого интересуют фигуры на плоскости или экзамены в школе!
От автора
Эта книга предназначена для обычных школьников, которые хотят понять геометрию на плоскости, но в силу разных обстоятельстве в школе им это не удалось сделать. Книга разделена на несколько частей: для удобства изучения и для качественного усвоения материала. Все части книги связаны и представляют собой единую программу по предмету Геометрия, раздел «Планиметрия».
Пусть наука простит меня за какие-то возможные неточности в изложении материала, я не для нее писала эту книгу и старалась максимально связно и доходчиво донести знания до детей любого возраста и для родителей, которые хотят помочь своим чадам в изучении этого предмета или вместе изучают предмет.
Программа отработана и показывает хорошие результаты усвояемости учениками разных возрастов, от 5 до 11 класса.
Планируется выпустить сначала все книги по теории, потом задачники.
Начальные знания об элементарных фигурах
Фигуры на плоскости, изучаемые в школе: треугольники, четырехугольники, окружность, круг, многоугольники.
Также надо различать и понимать, что такое точка, отрезок, луч, прямая, угол.
В курсе «Геометрии» 7-9 класса проходят темы «Векторы», «Метод координат», «Движение» и «Начальные сведенья из стереометрии, однако в ОГЭ по математике, пока что эти темы не включены.
Для начала вспомним определения и свойства элементарных «фигур»:
Точка – абстрактный объект в пространстве, не имеющий никаких измеримых характеристик.
Прямая – это самая простая геометрическая фигура, которая, не имеет ни начала, ни конца, т.е. бесконечна.
Луч – это часть прямой, ограниченная с одной стороны точкой. Луч имеет начало, но не имеет конца. Любая точка на прямой разделяет ее на два луча.
Отрезок прямой – это часть прямой, ограниченная двумя точками (точки называются концами отрезка).
Также надо понимать, что, все вышеперечисленные объекты – это множество точек (кроме точки она одна, не множество), бесконечное множество – ничем ограниченная прямая; бесконечное множество, ограниченное с одной стороны (или имеющее начало) – луч; множество точек имеющие и начало и конец – отрезок.
Точки, обозначаются только большими латинскими буквами
точка A
точка B
Прямые обычно обозначают малыми латинскими буквами
прямая a прямая b прямая c
Но если на прямой есть точка, то можно обозначать ее двумя точками, лежащими на прямой.
прямая AB
На прямой АВ также есть четыре луча и один отрезок. Луч можно, как и прямую, обозначить малой латинской буквой или двумя большими, где правая будет обозначать начало луча, а вторая может быть любой точкой на этом луче
Отрезок всегда обозначают двумя большими латинскими буквами.
Угол – это геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей, исходящих из этой точки. Другими словами, угол – это два луча, у которых совпадают их начала.
Углы обозначаются тремя большими латинскими буквами, где средняя буква является вершиной угла, началом лучей.
Прямые
Прямые могут пересекаться и не пересекаться. Если у прямых есть одна общая точка, то они пересекаются. Прямые a и b пересекаются в точке A.
Если у прямых нет общей точки пересечения, то такие прямые называются параллельными. Прямая c параллельна прямой d. (обозначение //)
Если у прямых две общие точки, то они совпадают, т.к. через две точки можно провести только одну прямую. Прямая z совпадает с прямой LM
Если прямые пересекаются под углом в 90 градусов (под прямым углом), то такие прямые называются перпендикулярными
Прямая h перпендикулярна прямой i
Углы
Углы бывают четырех видов:
Углы на пересекающихся прямых
Углы, которые находятся напротив друг друга, называются вертикальными. Они равные.
Углы, которые находятся рядом и образуют прямую (или развернутый угол) называются смежными. В сумме они составляют 180 градусов.
Углы на двух параллельных прямых и секущей
Соответственные углы равны.
Внутренние накрест лежащие углы также равны
Внешние накрест лежащие углы также равны
Внутренние односторонние углы в сумме составляют 180 градусов
Внешние односторонние углы в сумме составляют 180 градусов
Градусная мера углов
Углы измеряются в градусах « о», минутах « ’», и секундах « ”»
До 9 класса достаточно знать о градусах. О минутах и секундах рассказывают в 10 классе на уроках Алгебры, в разделе «Тригонометрия».
Измерить градусную меру угла можно транспортиром :
Общие сведения о треугольниках
Общие сведения, которые касаются всех треугольников:
1.Сумма углов в любом треугольнике равна ста восьмидесяти градусам
2.У любого треугольника есть средняя линия, длина которой равна половине основания.
Средняя линия (K M) – это отрезок, который соединяет середины сторон, т.е. K – середина AB, M – середина BC.
Значит AK=KB, CM=BM
а
(основание для средней линии – это сторона, параллельная ей), т.е.
3.Кратчайшее расстояние от точки до прямой – перпендикуляр. Это понимание нужно для решений некоторых задач, где рисуя перпендикуляр то получается либо высота, либо прямоугольный треугольник , либо
4.Площадь треугольника
где a – основание (сторона, на которую опущена сторона),
– это высота, опущенная на сторону а.
где b – это основание, а
– это высота, опущенная на основание.
Т.е. площадь можно найти, используя половину произведения ЛЮБОЙ стороны и высоты, ОБЯЗАТЕЛЬНО опущенной именно на эту сторону.
5.Высота – это отрезок, концы которого соединяют вершину треугольника и противоположную сторону так, что сторона и отрезок образуют
(прямой угол).
6.Медиана – это отрезок, соединяющий вершину треугольника и середину противоположной стороны.
7.Биссектриса – это отрезок, исходящий из вершины на противоположную сторону и делящий угол пополам
.
Виды и свойства треугольников.
Что такое треугольник, думаю, знают все: еще с начальной школы знаем, что такая фигура имеет три угла, три стороны и три вершины. Разберемся теперь, какие треугольники бывают.
В зависимости от углов:
остроугольные (все углы острые, меньше 90°)
тупоугольные (один из углов тупой, больше 90°)
прямоугольные (один из углов прямой, 90°)
В зависимости от сторон:
произвольный (все стороны и углы разные)
равнобедренный (две стороны равны)
равносторонний (три стороны равны)
В планиметрии рассматривают: прямоугольные, равнобедренные и равносторонние треугольники – они немного особенные и свойств у них много, которые надо знать.
У остроугольного нет особенностей.
У тупоугольного есть одна: три высоты будут пересекаться вне треугольника.
Прямоугольный:
Стороны, прилежащие к углу в 90°, называются катетами
Сторона, лежащая напротив угла в 90°, называется гипотенузой
Свойства:
Два острых угла дают в сумме 90°. (Сумма углов в треугольнике составляет 180°, в прямоугольном – один угол прямой, т.е. 90°, 180°-90°=90°, таким образом на два острых угла приходится только 90°.)
Катет, лежащий напротив угла в 30°, равен половине гипотенузы.
Равнобедренный:
Равные стороны называются боковыми, третья- основанием. Боковые стороны равны по определению.
Свойства:
Углы при основании равны.
Конец ознакомительного фрагмента. Получить полную версию книги.
Текст предоставлен ООО «ЛитРес».
Прочитайте эту книгу целиком, купив полную легальную версию (https://www.litres.ru/pages/biblio_book/?art=51186789) на ЛитРес.
Безопасно оплатить книгу можно банковской картой Visa, MasterCard, Maestro, со счета мобильного телефона, с платежного терминала, в салоне МТС или Связной, через PayPal, WebMoney, Яндекс.Деньги, QIWI Кошелек, бонусными картами или другим удобным Вам способом.
Если текст книги отсутствует, перейдите по ссылке
Возможные причины отсутствия книги:
1. Книга снята с продаж по просьбе правообладателя
2. Книга ещё не поступила в продажу и пока недоступна для чтения